درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف

می‌خواهیم کلاس‌های دهم سه دبیرستان را بر اساس نتایج آزمون جامعی که همزمان بین دانش‌آموزان ممتاز برگزارشده است، رتبه‌بندی کنیم. از هر دبیرستان 10 نفر به تصادف انتخاب شده اند. نمره‌های آزمون جامع هر سه کلاس از 120 نمره است.
داده‌های مربوط به سه کلاس دهم:

الف) $\left\{ 65,75,73,50,60,64,69,62,67,85 \right\}$

ب) $\left\{ 85,79,57,39,45,71,67,87,91,49 \right\}$

پ) $\left\{ 43,51,53,110,50,48,87,69,68,91 \right\}$

میانگین سه کلاس را محاسبه کنید. به نظر شما پراکندگی نمره‌ها در کدام کلاس بیشترین و در کدام کلاس کمترین است؟ برای پاسخ به این سؤال، داده‌ها را روی سه محور موازی نمایش دهید. کدام دبیرستان نتایج بهتری با اطلاعات داده شده کسب کرده است؟ چرا؟

مثلاً اگر والدین برای ثبت‌نام فرزند بازیگوش خود در سال آینده بخواهند بر اساس این نتایج، یکی از مدرسه‌ها را انتخاب کنند، مدرسه‌ای بهتر است که پراکندگی نمره‌ها در آن کمتر است. در مقابل، برای فرزندی که به قصد شرکت در المپیاد می‌خواهد مدرسه را انتخاب کند، مدرسه‌ای بهتر است که پراکندگی نمره‌ها در آن بیشتر باشد. چرا؟

یک معیار معمول برای سنجش میزان پراکندگی که نشان دهندهٔ تغییرات داده‌های مورد مطالعه است، انحراف معیار است. انحراف معیار را با به‌‌کارگیری یک فرمول، از داده‌ها به دست می‌آوریم. (اختلاف هر عدد با میانگینِ داده‌ها را حساب کنید، به توان 2 برسانید؛ میانگین اعداد حاصل را به‌دست آورید، و سپس جذر بگیرید.) توان دوم انحراف معیار را واریانس می‌نامند. داده‌ها در شکل زیر رسم شده‌اند. همچنین انحراف معیار نمره‌های سه کلاس، محاسبه و در شکل نشان داده شده است.

حتماً بر روی قوطی‌ها یا پاکت‌های مواد غذایی یا بهداشتی اعدادی به‌صورت زیر مشاهده کرده‌اید. به نظر شما هر یک از این اعداد چه چیزی را نشان می‌دهند؟
$250\pm 10$ گرم

عدد 250 وزن خالص مادهٔ غذایی است که قرار است به‌دست مصرف‌کننده برسد؛ ولی معمولاً این‌چنین نیست. کمی خطا اجتناب‌ناپذیر است. این خطا چقدر است و آن‌را چگونه محاسبه کنیم؟ اگر وزن و انحراف معیار تعداد زیادی از محتوای پاکت‌ها یا قوطی‌های یک تولیدی را محاسبه کنیم، دو برابر آن عدد 10 است؛ یعنی عدد 10 دو برابر انحراف معیار مواد غذایی در بسته‌بندی‌های مختلف است. به عبارت دقیق‌تر اگر ما 100 قوطی حاوی این مادهٔ غذایی را وزن کنیم، انتظار داریم حداقل 96 تا از آنها وزنی بین 240 و 260 گرم داشته باشند. درج چنین اعدادی بر روی کالاها از الزامات استاندارد هر کشوری است.

چگونه به عدد 96 رسیده‌اند؟

برای پی بردن به میزان تغییراتی که داریم، معمولاً با محاسبهٔ مقدار انحراف از میانگین، اطلاعات دقیق‌تری درخصوص میانگین و انحراف معیار به‌دست خواهیم آورد. برای این منظور از یک قانون مشهور در آمار استفاده می‌کنیم: تقریباً 96 درصد از داده‌ها در فاصلهٔ «دو انحراف معیار از میانگین» هستند. این جمله یعنی اگر فاصله‌ای تعریف کنیم که ابتدای آن $\overline{x}-2\sigma $ و انتهای آن $\overline{x}+2\sigma $ باشد، تقریباً 96 درصد داده‌ها در این فاصله قرار دارند. این مانند آن است که بگوییم 4 درصد از نمره‌ها بیش از دو برابر انحراف معیار از میانگین فاصله دارند. البته مشابه همین قانون در شکل‌های قبل برای یک برابر انحراف معیار نمایش داده شده است. در این حالت، قانون قبل به «تقریباً 68 درصد از مشاهدات در فاصلهٔ یک انحراف معیار از میانگین هستند»، تغییر می‌کند.

دو برابر انحراف از میانگین را روی همان شکل رسم کنید.

می‌خواهیم با همان مثال خیریهٔ درس قبل، بحث را ادامه دهیم. اگر انحراف معیار مجموعه داده‌ها کوچک باشد، بدین معناست که درآمد همهٔ افراد به هم نزدیک است. اگر انحراف معیار بزرگ باشد، بدین معناست که درآمد افراد آن انجمن، بسیار متفاوت است. انحراف معیار درآمد اعضا به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

به‌کمک جدول زیر، این کار را انجام دهید.

زمانی‌که میلیاردر وارد انجمن خیریه می‌شود، انحراف معیار داده‌ها برابر است با .................. این دو مقدار با هم اختلاف زیادی دارند. چرا و چه باید کرد؟ زمانی را به‌خاطر بیاورید که معیار گرایش به مرکز را برای این داده‌ها محاسبه کردیم. برای رفع آن مشکل به‌جای میانگین، میانه را به‌کار بردیم. مشابه همان کار را می‌توانیم انجام دهیم. معیار پراکندگی‌ای که تعریف می‌شود، انحراف معیار نیست. ما آن‌را دامنهٔ میان چارکی می‌نامیم و با IQR نشان می‌دهیم. «میانه» جایی در وسط داده‌هاست؛ به‌طور مشابه، چارک‌ها هم یک چهارم و یک دوم و سه چهارم مشاهدات هستند. به عبارت ساده‌تر اگر برای داده‌های مرتب شده قبل از میانه، یک میانه حساب کنیم، همان چارک اول است و به همین صورت میانهٔ داده‌های بعد از میانه، چارک سوم خواهد بود.

چارک دوم هم همان میانه است. برای سادگی از نمادهای ${{Q}_{1}}$ و ${{Q}_{2}}$ و ${{Q}_{3}}$ به‌ترتیب برای چارک اول، میانه (چارک دوم)، و چارک سوم استفاده می‌شود.

جدول زیر را برای مثال خیّرین مدرسه تکمیل کنید.

این اعداد، امکان مشاهدهٔ چند چیز را به شما می‌دهند: میلیاردر مسبب درهم‌ریختگی میانگین درآمد و انحراف معیار بوده است؛ اما میانه و دامنهٔ میان چارکی همچنان ثابت ماندند. این یکی از دلایلی است که ما می‌گوییم اگر داده دورافتاده داشته باشیم، بهتر است از میانه (و در نتیجه دامنهٔ میان چارکی) به‌جای میانگین استفاده کنید. در این صورت، نتیجهٔ بهتری از داده‌ها به‌دست می‌آورید. همچنین زمانی‌که تعداد داده‌ها زیاد باشد، می‌توانید از تفاوت معیارهای گرایش به مرکز و پراکندگی نتیجه بگیرید که داده دورافتاده وجود داشته است.

دلیل دیگر استفاده از میانه و دامنهٔ میان چارکی، تفسیر سادهٔ آنها در مقابل تفسیر میانگین و انحراف معیار است. اگر نتایج مطالعات مربوط به سرطان را ملاحظه کنیم، اولین چیزی که در گزارش‌ها مشاهده می‌کنیم، مشخصات عمومی بیماران مورد مطالعه است: آنها چند سال سن دارند؟ نسبت مردان به زنان چقدر است؟
چند نفر بیماریشان زود تشخیص داده شده و در مراحل ابتدایی است و چند نفر بیماریشان عود کرده است؟
اگر در گزارش، میانگین و انحراف معیار را ذکر کنیم، هر خواننده‌ای می‌تواند از روی اطلاعات داده شده، با توجه به دو قانون ذکر شده، نحوهٔ توزیع سنین بیماران را به‌دست آورد. اما نکته در اینجاست که آنها این کار را نخواهند کرد. به‌ندرت می‌توانید یک پزشک متخصص سرطان بسیار پرمشغله را در حال فکر کردن به این مسئله ببینید که، «خوب …میانگین 64/3 و انحراف معیار 9/8 است؛ 68 درصد از بیماران در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین هستند؛ این یعنی، $64/3\pm 9/8$ که می‌شود …، یک لحظه صبر کنید …، ماشین حسابم کجاست؟» شما فقط می‌توانید با نگاهی سریع به میانه و دامنهٔ میان‌چارکی، تصور خوبی نسبت به توزیع داده‌های پیش رویتان به‌دست آورید. به عبارت دیگر، میانه و دامنهٔ میان‌چارکی در توصیف مجموعه داده‌ها بسیار مفیدند و این دقیقاً همان کاری است که ما از آنها انتظار داریم انجام دهند:

همه آماره‌هایی که در اینجا ذکر شد (میانگین‌ها، میانه‌ها، انحراف‌های معیار، دامنه‌های میان‌چارکی) تحت عنوان آمار توصیفی شناخته می‌شوند.